这个作业是完成微积分相关的数学题目

MAT 137Y: Calculus Problem Set 5.

1.持久性漏斗一旦开始跳车,就比自己前进了1米。不急于
在意识到不可能立即跳过这么远的距离后,持久性漏斗决定
总是跳剩余距离的一半。令S(n)表示持久性物体经过的距离
跳跃后的跳跃者。
(a)使用求和符号(Σ)找到S(n)的表达式作为n个项的总和。
(b)将S(n)的表达式简化为一个容易让您执行计算的表达式。暗示:
也考虑1
2
简化S(n)时的S(n)。
(c)计算S(137)。持久性漏斗是否会结束其旅程?序列S(n),n∈N,
收敛?如果是这样,请计算限制。
(d)明智的漏斗在坚持不懈的漏斗西西弗(Sisyphean)努力下感到困惑,决定展示其
在每个步骤跳到第k部分的其他料斗都将得出与
(C)。令Sk(n)为n次跳跃后的行进距离,每个跳跃都覆盖了运动的第k个部分。
剩余距离。找到Sk(n)的简化公式,然后证明明智料斗的
思想。
2.假设f是[0,1]上的可积函数,并且P和Q是[0,1]的分区。我们说P是
如果UP − LP≤UQ − LQ,则优于Q。说明以下陈述是对还是错。如果是真的,
提供证明。如果为假,请提供一个反例。注意:表明某事是反例
需要证明。
(a)如果P优于Q,则Q⊆P
(b)如果P具有比Q多的点(不一定是Q⊆P的情况),则P比Q好。
(c)对于任何分区P和Q,P∪Q优于P。
3.如下定义每个自然n≥1的an:
1个
n3如果n为偶数,且an =-
1个
如果n为奇数,则为n2。
定义A = {an:n∈N}。为了简化表示法,我们将编写例如supn≥kan而不是
等效符号sup {an:n≥k}。
(a)计算sup A和infA。它们也是A的最大值和最小值吗?证明你的答案。
(b)证明supk≥1
infn≥kan =infk≥1supn≥kan。你能就融合得出结论吗
的序列,n∈N?提示:绘制适当的图片。
(c)现在让B = {f(x):x∈[1,∞)},即B是f的范围,其中f是具有域[1,∞)的函数
定义如下:f(x)= 1
如果x是有理的且f(x)= −,则x3
1个
如果x不合理,则为x2。计算sup B
和infB。它们也是B的最大值和最小值吗?证明你的答案。
4. Let f be integrable and convex. Let g(x) = f(b)−f(a)
b−a
(x − a) + f(a). Show that R b
a
f(x)dx ≤
R b
a
g(x)dx.
Hint: Sketch the graphs of the functions f(x) and g(x). Then, work directly from the definition of the
integral.


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