这个作业是完成一系列的数学问题

MATH2089
Numerical Methods and Statistics

A部分–数值方法
1.在另外一本标有问题1的书中回答
a)[18分]
在该问题的其余每个部分中,均提出索赔。对于每个
声明,声明声明是真还是假(1分),并提供简短说明
回答的理由(2分)。
i)声明:在2.5 GHz四核计算机上,该计算机可以进行4次浮动
每个时钟周期每个内核的点操作数最多
可以使用快速傅立叶变换处理的值
1秒内n log2 n个触发器的大小约为n = 1.32×109

ii)对a的一阶导数的前向差分近似
光滑函数f是
F
0
(x)= f(x + h)− f(x)
H
+ O(h)。
主张:h的最优值,它将使h的总和最小化
舍入误差和截断误差为O(ε
1/4
),其中ε是
最小机器数,使1 +ε> 1。
iii)您将获得以下简短的Matlab程序。
c = 100;
g = @(x)c / log2(x);
N = 100;
x = 10;
对于k = 1:N
x = g(x);
结束
索赔:以上程序将找到方程式的解
f(x)= 0其中f(x)= x log2
(x)−100。您可以假设
f(x)= 0的解是x = 22.32008。
iv)您被告知
规范(A-A’)= 1.3e-16
cond(A)= 5.052e + 13
•将A计算为全双精度精度,
•b最多可计算6个有效数字。
声明:Ax = b的计算解至少具有6个有效位
数据。
v)您将获得以下Matlab命令的结果:
>> A = [1 2; 3 4];
>> [L,U,P] = lu(A)
请看。 。 。
2019年第2学期MATH2089第3页
L =
1 0
1/3 1
U =
3 4
0 2/3
P =
0 1
1 0
要求:矩阵A,L,U满足A = LU。
vi)您被告知
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> [Q,R] = qr(A);
要求:矩阵R是正交的,即RRT = I,其中I是
3×3单位矩阵。
b)c [12分]设f:[0,1]→R由f(x)=√定义
X。最正确
积分由
I(f)= Z 1
0
f(x)dx =
2
3

使用梯形法则计算I(f)的近似值
N个相等子间隔的Simpson规则给出下表
错误EN(f)= I(f)− QN(f):
梯形法则辛普森法则
N QN(f)EN(f)QN(f)EN(f)
2 0.6035533906 6.31e-02 0.6380711875 2.86e-02
4 0.6432830462 2.34e-02 0.6565262648 1.01e-02
8 0.6581302216 8.54e-03 0.6630792801 3.59e-03
16 0.6635811969 3.09e-03 0.6653981886 1.27e-03
32 0.6655589363 1.11e-03 0.6662181827 4.48e-04
64 0.6662708114 3.96e-04 0.6665081031 1.59e-04
i)梯形规则的误差满足
Ë
陷阱
N(f)= O(N
−2
),(1.1)
设f∈C
2
([0,1])。您无需证明这一点。
请看。 。 。
2019年第2学期MATH2089第4页
A)用(1.1)估算比率
Ë
陷阱
N(f)
Ë
陷阱
4N(f)
。 (1.2)
B)当N = 8时,使用误差表估算比率(1.2)。
C)误差表是否与理论误差估计值一致
在(1.1)中?
D)在C)中给出回答的理由。
ii)给出的以下辛普森规则的精确度是多少
通过
Q(f)= 1
6
[f(0)+ 4f(1/2)+ f(1)]。
解释你的回答。
iii)找到将z∈[−1,1]映射到的线性变换x =α+βz
x∈[0,1]。
iv)节点zj
,j = 1,, 。 。 ,4和权重wj
,j = 1,, 。 。 ,4为
区间[-1,1]的高斯-勒根德规则在下面给出
表。您如何估算I(f)的值是多少
1 2 3 4
zj -0.86114 -0.33998 0.33998 0.86114
wj 0.34785 0.65215 0.65215 0.34785
近似?
请看。 。 。
2019年第2学期MATH2089第5页
2.在另一本标有问题2的书中回答
a)[14分]
接近地球表面的自由落体以
恒定速率g。假设向上方向为正,则
方程
d
2
s
dt2
= −g,0 <t <T,
是控制下降的垂直距离的微分方程
身体旅行。这里t = 0被认为是物体的初始时间
开始下降,T是它撞到地面的时间。如果我们进一步假设
以初始速度将物体从高度s0向上抛起
v0,那么控制距离的问题就是上面的方程主题
到初始条件
s(0)= s0和s
0
(0)= v0。
i)微分方程的阶数是多少?
ii)将该常微分方程转换为系统
X
0 = f(t,x),对于t> t0,
一阶微分方程组。
iii)初始条件x0 = x(t0)是什么?
iv)写
•包括Matlab匿名函数myode
•或Matlab函数M文件myode.m
评估向量值函数f(t,x)。组
g = 9.8,T = 1,v0 = 10,s0 =20。(2.1)
v)求解阶数为2的显式Runge-Kutta方法
价值问题
0 = F(t,u)与u(t0)= u0可以总结为
以下公式:对于n = 0、1,…。 。 。 ,N − 1,计算:
ξ1=联合国
ξ2=联合国+
2
3
hF(tn,ξ1)
un + 1 = un +
H
4
[F(tn,ξ1)+ 3F(tn +
2
3
h,ξ2)]。
使用步长为h = 0.1的该方法来估计x(0.1)
ii)具有相同数值的初始值问题
(2.1),如第iv部分)。
Please see over . . .
Term 2, 2019 MATH2089 Page 6
b) [16 marks] Fick’s second law predicts how diffusion causes the concentration u(x, y) of a chemical to vary with position (x, y) ∈ Ω. The
steady state version of Fick’s second law (without interior sources of the
chemical) is Laplace’s equation

2u(x, y)
∂x2
+

2u(x, y)
∂y2
= 0. (2.2)
Consider the rectangular domain
Ω = {(x, y) ∈ R
2
: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1},
and discretize it using h = 1/n and
(
xi = ih for i = 0, 1, . . . , 2n,
yj = jh for j = 0, 1, . . . , n.
This is illustrated in Figure 2.1 for n = 5.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
Index i for xi
Index j for yj
Figure 2.1: Discretization of the domain for n = 5 and grid points for part iv)
i) What extra information is needed to completely specify this problem?
ii) You are given the following standard finite difference approximations
for a function f of one variable:
f
0
(x) = f(x + h) − f(x)
h
+ O(h),
f
0
(x) = f(x + h) − f(x − h)
2h
+ O(h
2
),
f
00(x) = f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)
h
2
+ O(h
2
).
Let ui,j denote the approximation to the value u(xi
, yj ) of concentration at the grid point (xi
, yj ). Give central difference approximations
of accuracy O(h
2
) to the following derivatives at the point (xi
, yj )
A)

2u
∂x2
B)

2u
∂y2
Please see over . . .
Term 2, 2019 MATH2089 Page 7
iii) Using the finite difference approximations from the previous part,
show that the equation (2.2) can be approximated by
βui,j − ui+1,j − ui−1,j − ui,j+1 − ui,j−1 = 0, (2.3)
and determine the value of β.
iv) Given that, in appropriate units,



u(x, 0) = u(x, 1) = x for 0 ≤ x < 2,
u(0, y) = 0 for 0 ≤ y ≤ 1,
u(2, y) = 2y for 0 ≤ y ≤ 1,
write down the equation (2.3) for a discretization with n = 5 at the
grid points (marked in Figure 2.1)
A) (x5, y2) B) (x9, y1)
v) You are given that the coefficient matrix A is symmetric positive
definite. Outline an effective way to solve the linear system Au = b.
Please see over . . .


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