这个作业是完成统计概率的测试题

MAST20006 Probability for Statistics /MAST90057 Elements of Probability
Assignment 5, Semester 1 2020

1.设X1,X2,…。 。 。 ,Xn是大小的随机样本(即X1,X2,…,Xn是独立的)
n来自成功概率p = 0.8的几何分布。
(a)查找mgf MY4
使用几何mgf,Y4的(t)= X1 + X2 + X3 + X4。然后
命名Y4的分布。
(b)查找mgf MYn
Yn的(t)= X1 + X2 +··+ Xn。然后命名分布

(c)查找mgf MY
(t)样本均值Y
n =
n
ñ

(d)求极限limn→∞MY¯n
(t)使用(c)的结果。什么分布
极限mgf对应于?
2

3

(e)让
锌=

ñ

¯
n −
5
4

5
4

=
4
5

5n Y
n −

5n。
寻找锰锌
(t),锌的mgf。然后使用Maple或理论参数来查找
极限mgf limn→∞MZn
(t)。锌的极限分布是什么?
4

2.令X1,X2和X3为指数分布中大小为n = 3的随机样本
pdf f(x)= 1
2
Ë
-x / 2
,0 <x <∞。找
(a)P(1 <X1 <2,2 <X2 <3,3 <X3 <4)。
5

(b)E [X1X2
2
(X3 − 2)2
]。
6

3.令X1,X2,X3表示一个随机样本,其大小为n = 3,其分布为
泊松pmf
f(x)= 2
X
X!
Ë
−2
,x = 0,1,2,3,。。 。 。 。
(a)计算P(X1 + X2 + X3 = 1)
7

(b)使用Poisson mgf求Z = X1 + X2 + X3的矩产生函数
X1。然后命名Z的分布。
(c)使用(b)的结果求出概率P(X1 + X2 + X3 = 4)。
8

(d)如果Y = max {X1,X2,X3},则求出概率P(Y≤2)。
9

4.如果E(X)= 16且E(X2
)= 292,使用切比雪夫不等式确定
(a)P(8 <X <24)的下界。
10

(b)P(| X − 16 |≥18)的上限。
5.假设预先包装的“ 1磅袋子”胡萝卜的重量分布
是N(1.18,0.072
)以及预包装的“三磅袋”的重量分布
的胡萝卜为N(3.22,0.092
)。现在独立随机选择三个1磅重的袋子
重量分别为X1,X2和X3的胡萝卜。也随机选择一个
3磅重的胡萝卜袋,重量为W。设Y = X1 + X2 + X3。
(a)求出Y的mgf。
11

(b)求出Y的分布,Y是三个1磅重的胡萝卜包的总重量
已选择。
(c)求出概率P(Y <W),即权重之和为
随机选择的三个1磅重的袋子小于一个3磅的重量
袋随机选择。
12

MAPLE问题
1.请务必通过回答以下问题来简化最终结果。
2.如果要删除已分配的obj,请使用unassign(’obj’)。
3.如果看起来很“麻烦”,请使用重新启动来清理工作表
丢失。
4.重新启动后,不要忘记使用(统计信息)进行键入:
∗ ∗
1.(Banach火柴盒问题)吸烟者携带两个火柴盒,其中一个火柴盒
右口袋,左口袋一个。每当他想吸烟时,他都会选择
随手拿出一个口袋,然后从那个口袋的盒子里拿出一个火柴。假设每个盒子
最初包含100个匹配项。令X为当
吸烟者第一次发现另一个盒子是空的。可以证明
X的pmf为
P(X = x)=
200-x
100
2
x−200,x = 0,1,2,。 。 。 ,100。
完成以下任务,并在小数点后保留4位有效数字。
您的答案。
(a)求出概率P(X≥10)。
(b)求平均值E(X)。
13

(c)找出E(X2
)。
(d)求E [(X + 1)−2
]。
2.令连续随机变量X具有以下pdf
f(x)= 2
9
(x +1)(2 − x),-1 <x <2。
(a)找出X的cdf F(x)。
14

(b)求出概率P(-3.5 <X <1.0)。
(c)求出均值E(X)。
(d)找出mgf M(t)= E [exp(tX)]。
(e)找到第三矩E(X3
)。
15

(f)令Y = X2
。找出Y的范围和Y的pdf g(y)。
3.考虑连续随机变量X和Y,它们具有以下联合pdf
f(x,y)= x + y,0 <x <1,0 <y <1。
(a)找到X的边际pdf f1(x)。
(b)求平均值E(X)。
16

(c)找到方差Var(X)。
(d)找出协方差Cov(X,Y)。 (请注意,E(X)= E(Y)。)
(e)给定X = x,求出Y的条件pdf h(y | x)。
(f)求条件概率P(Y≤
1个
2
| X =
1个
3
)。

17

(g) Find the probability P(
1
2 < X + Y < 3
2
).
4. Let X have the normal distribution N(µ, σ2
) and let Y = e
X.
(a) Find the range of Y and the pdf g(y) of Y .
18

(b) Find the third moment of Y , E[Y
3
].
(c) In the next four subquestions, we assume that µ = 0 and σ = 1.
Sketch the graph of the pdf of Y for 0 < y ≤ 5 (use Maple to generate the graph
and copy it the best you can in the answer box).
19

(d) What is the mean of Y ? Keep 3 significant digits after the decimal point in your
result.
(e) What is the median of Y ? What can you conclude about P(Y ≤ 1)?
(f) What is P(Y > 2)? Keep 3 significant digits after the decimal point in your
result.
5. Let X be a continuous random variable with the density function
f(x) =



2
x
2
, 1 < x < 2
0 elsewhere
(a) Find the kth moment of X for k ≥ 1.
20

(b) Find the cdf of X and explain how you could use it to simulate a realisation/observation
from X.
21

(c) Generate a sample of 1000 observations from the distribution of X and plot the
corresponding histogram. Compare the shape of the histogram with that of the
density of X.
For this question, sketch the graph of the density and write your comment on
the comparison of this graph with the histogram in the box below; refer to your
attached code for the histogram.
(d) Let Z = ln(X). Find the mgf MZ(t) of Z. For which values of t is it well defined?
Compare its expression with your answer to (b) and comment.
22

(e) Find E[Z].
6. Let X be a Gamma distribution with mean 8 and variance 32.
Let X1, X2, . . . , Xn be n independent random variables with the same distribution as
X. Let Yn =
Pn
i=1 Xi/n be the sample mean.
Sketch the graphs of the pdf of X and the pdf of Yn for n = 3, 5. What do you
observe? Can you compare Yn to a known distribution when n is large? Elaborate on
your answer.
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