这个作业是完成线性回归相关的统计问题

STAT 4102 Final

1(25分)
考虑以下线性回归模型
Yi =β0+β1xi+ i
,我= 1,2,…,3n。
在此,x1 = … = xn = 0,xn + 1 = … x3n = 1,n = 100。
1.假设我
是i.i.d. 均值为0,方差为σ
2
。 这里σ
2

未知。
•最小二乘估计量的近似分布是多少
βˆ
1个 证明你的结果。 (8分)
•使用以下公式为β1找到1 −α(精确或近似)置信区间
βˆ
1并证明您的结果。 (7分)
2.假设我
是i.i.d. 均值μ,方差σ
2
。 设βˆ
0和βˆ
1个
成为最小二乘估计器。 计算它们的偏差和方差。 (10
点)
2(25分)
令X1,…,Xn为独立的指数(θ)分布随机变量(密度:exp(-x /θ)/θ,x≥0),θ>0。找到一个α检验(精确或近似)
H0:θ=θ0vs H1:θ6 =θ0,其中θ0> 0是已知数。 (25分)
3 (25 points)
Let X1, X2, …, Xn be independent Uniform(θ, θ + 1) distributed random variables. For testing H0 : θ = 0 vs H1 : θ > 0.
1. Find the level α uniformly most powerful test. (18 points)
2. Calculate its power and compare it with the power of a naive test which
rejects the null if X1 > 1−α. Use your calculation to show that the power
of the former is indeed larger. (7 points)
1
4 (25 points)
Let X1, …, Xn be independent Poisson(λ) distributed random variables. Find a
consistent estimator for the probability P(X1 > 2) and prove your result. (25
points)


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