这次作业是完成限时的数学测试题
MAST20006 Probability for Statistics
1.居住在城市的选民以0.6的概率投票给候选人A，而居住在城市的选民
在该国以0.4的概率投票给候选人A。众所周知，
所有选民都居住在城市中，其余20％居住在该国。
（a）计算随机选出的选民投票给候选人的可能性
答：[3]
（b）计算将投票给候选人A的人居住在
城市。 [3]
（c）四名经过随机调查的选民表示，他们将投票给候选人A。
X是居住在城市中的这四个人中的选民人数。计算
概率P（X = 3）。 [3]
2.假设X1和X2是两个独立的随机变量，它们具有以下内容
矩生成函数（mgf）：
M1（t）= E
Ë
X1
</ s> </ s> </ s>
= M2（t）= E
Ë
2号
</ s> </ s> </ s>
=
0.5e
Ť
1 − 0.5e
Ť
，t <ln 2。
（a）计算概率P（min（X1，X2）> 2）。 [3]
（b）定义Y = X1 + X2。计算概率P（Y = 4）。 [3]
（c）计算概率P（Y> 7）。 [3]
（d）计算Var（0.5
Y + 80）。 [3]
3.某些基因的突变在人群中的发生概率为0.001。
假设将在2500人的随机样本中观察到X个人具有此特征
突变。注意，X遵循二项分布。
（a）计算P（X≤2）。 [2]
（b）二项式分布b（n，p）可以由泊松（λ= np）近似
如果p小而n大则分布。使用此结果来近似
（a）中的概率由泊松概率表示。 [2]
（c）（a）部分中的概率也可以用正态概率来近似
基于中心极限定理。给出一个正常的近似值（使用
连续性校正）到P（X≤2）。 [2]
4.令X1和X2为两个独立的伯努利（p = 0.5）随机变量。定义两个
新的随机变量：Y1 = min（X1，X2）和Y2 = max（X1，X2）。
（a）计算（Y1，Y2）的联合概率质量函数（pmf）。 [3]
（b）计算E（Y1），E（Y2），Var（Y1）和Var（Y2）。 [4]
（c）计算Cov（Y1，Y2）。 Y1和Y2独立吗？为什么或者为什么不？ [3]
页2的
5.令X为具有概率密度函数的连续随机变量（pdf）
f（x）=
如果− 4 <x <0
如果0 <x <2则为2c
其他0
其中c是一个常数，其值待确定。
（a）找到c的值和X的累积分布函数（cdf）。[2]
（b）令X1和X2为两个独立的随机变量，每个变量具有pdf f（x）
上面给出。定义W = min {X1，X2}。找到W的第75个百分位。[3]
（c）考虑X的变换Y = X2。
一世。这种转换是一对一的吗？寻找Y的支持。 [2]
ii。推导Y的cdf。 [3]
iii。计算Y的pdf。 [2]
6.令X1，X2，X3是具有伯努利（p = 0.5），伯努利（p =
0.5）和泊松（λ= 0.75）分布。
定义Y1 = X1 + X3和Y2 = X2 + X3。
（a）计算Y1和Y2之间的相关系数ρ。 [2]
（b）使用切比雪夫不等式P（| X-µ | <kσ）≥1-
1个
ķ
2找到下界
对于P（| Y1 − 1.25 | <
√
3）。 [1]
（c）计算P（| Y1 − 1.25 | <
√
3）。 [3]
（d）定义
Z1 =
如果Y1 = 0，则为1，
0否则；和Z2 =
如果Y2 = 0，则为1，
否则为0。
一世。计算P（Z1 = 1）和P（Z2 = 1）。 [2]
ii。计算（Z1，Z2）的联合pmf。 [2]
7.假设X和Y是具有联合pdf的连续随机变量
f（x，y）=
3如果0≤x≤1和0≤y≤x
2
，
0在其他地方。
（a）找到X的边际pdf。X的边际pdf是统一的pdf吗？ [2]
（b）给定X = x，0≤x≤1，找到Y的条件pdf。它是统一的pdf吗？ [2]
（c）X和Y独立吗？为什么或者为什么不？ [1]
（d）计算条件期望E
2
Y
X = 2−1/2
. [2]
(e) Compute the probability P(Y ≥ X3
). [3]
8. Consider two random variables X1 and X2 with the joint probability density
f(x1, x2) =
2, 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ 1,
0 elsewhere.
Let Y1 = X1X2 and Y2 = X2 be a joint transformation of (X1, X2).
(a) Find the support of (Y1, Y2) and sketch it. [3]
(b) Find the inverse transformation. [1]
(c) Compute the Jacobian of the inverse transformation. [2]
(d) Compute the joint pdf of (Y1, Y2). [2]
(e) Find the marginal pdf of Y1 from the joint pdf of (Y1, Y2). [2]
9. Let X1, X2, · · · , Xn be independent random variables each having the momentgenerating function (mgf)
M(t) = 8 − 3t
(2 − t)(4 − t)
, t < 2.
(a) Compute the mgf MYn
(t) of the sum Yn = X1 + X2 + · · · + Xn. [2]
(b) Compute the mgf MY¯n
(t) of the sample mean Y¯
n =
Yn
n
. [2]
(c) Compute the limiting mgf limn→∞ MY¯n
(t). What distribution does the limiting
mgf correspond to? What is the implication of this result? [2]
(d) Let Zn =
√
n(Y¯
n −
3
8
). Compute MZn
(t), the mgf of Zn. Then use this result
to compute limn→∞ MZn
(t). Finally explain what is the limiting distribution of
Zn as n → ∞. [5]
10. A random variable X has the following mgf:
M(t) = e
−t
(1 − 2t)
(1 − t)(1 − 4t)
, t <
1
4
.
(a) Compute the value of Var(X). [5]
(b) Compute the probability P(X2 > 4). [5]
Total marks = 100
End of the exam questions.
Formulas are on the next page.