这个作业是完成一系列数学相关问题的数学代写,以下是作业具体要求:

 

MATH2089
Numerical Methods and Statistics

A部分–数值方法
1.在另外一本标有问题1的书中回答
a)[18分]
在该问题的其余每个部分中,均提出索赔。对于每个声明,声明声明是真还是假(1分),并提供简短说明回答的理由(2分)。
i)声明:在2.5 GHz四核计算机上,该计算机可以进行4次浮动每个时钟周期每个内核的点操作数最多可以使用快速傅立叶变换处理的值1秒内n log2 n个触发器的大小约为n = 1.32×109。
ii)对a的一阶导数的前向差分近似光滑函数f是
F0(x)= f(x + h)− f(x)H+ O(h)。
主张:h的最优值,它将使h的总和最小化舍入误差和截断误差为O(ε1/4),其中ε是
最小机器数,使1 +ε> 1。
iii)您将获得以下简短的Matlab程序。
c = 100;
g = @(x)c / log2(x);
N = 100;
x = 10;
对于k = 1:N
x = g(x);
结束
索赔:以上程序将找到方程式的解
f(x)= 0其中f(x)= x log2
(x)−100。您可以假设
f(x)= 0的解是x = 22.32008。
iv)您被告知
规范(A-A’)= 1.3e-16
cond(A)= 5.052e + 13
•将A计算为全双精度精度,
•b最多可计算6个有效数字。
声明:Ax = b的计算解至少具有6个有效位数据。
v)您将获得以下Matlab命令的结果:
>> A = [1 2; 3 4];
>> [L,U,P] = lu(A)
请看。 。 。
2019年第2学期MATH2089第3页
L =1 01/3 1
U =3 40 2/3
P =0 11 0
要求:矩阵A,L,U满足A = LU。
vi)您被告知
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A =1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> [Q,R] = qr(A);
要求:矩阵R是正交的,即RRT = I,其中I是
3×3单位矩阵。
b)c [12分]设f:[0,1]→R由f(x)=√定义
X。最正确积分由
I(f)= Z 10
f(x)dx =23。
使用梯形法则计算I(f)的近似值N个相等子间隔的Simpson规则给出下表
错误EN(f)= I(f)− QN(f):
梯形法则辛普森法则
N QN(f)EN(f)QN(f)EN(f)
2 0.6035533906 6.31e-02 0.6380711875 2.86e-02
4 0.6432830462 2.34e-02 0.6565262648 1.01e-02
8 0.6581302216 8.54e-03 0.6630792801 3.59e-03
16 0.6635811969 3.09e-03 0.6653981886 1.27e-03
32 0.6655589363 1.11e-03 0.6662181827 4.48e-04
64 0.6662708114 3.96e-04 0.6665081031 1.59e-04
i)梯形规则的误差满足
Ë
陷阱
N(f)= O(N
−2),(1.1)
设f∈C
2([0,1])。您无需证明这一点。
请看。 。 。
2019年第2学期MATH2089第4页
A)用(1.1)估算比率
Ë
陷阱
N(f)
Ë
陷阱
4N(f)
。 (1.2)
B)当N = 8时,使用误差表估算比率(1.2)。
C)误差表是否与理论误差估计值一致
在(1.1)中?
D)在C)中给出回答的理由。
ii)给出的以下辛普森规则的精确度是多少
通过
Q(f)= 1
6
[f(0)+ 4f(1/2)+ f(1)]。
解释你的回答。
iii)找到将z∈[−1,1]映射到的线性变换x =α+βz
x∈[0,1]。
iv)节点zj
,j = 1,, 。 。 ,4和权重wj
,j = 1,, 。 。 ,4为
区间[-1,1]的高斯-勒根德规则在下面给出
表。您如何估算I(f)的值是多少
1 2 3 4
zj -0.86114 -0.33998 0.33998 0.86114
wj 0.34785 0.65215 0.65215 0.34785
近似?
请看。 。 。
2019年第2学期MATH2089第5页
2.在另一本标有问题2的书中回答
a)[14分]
接近地球表面的自由落体以
恒定速率g。假设向上方向为正,则
方程
d
2
s
dt2
= −g,0 <t <T,
是控制下降的垂直距离的微分方程
身体旅行。这里t = 0被认为是物体的初始时间
开始下降,T是它撞到地面的时间。如果我们进一步假设
以初始速度将物体从高度s0向上抛起
v0,那么控制距离的问题就是上面的方程主题
到初始条件
s(0)= s0和s
0
(0)= v0。
i)微分方程的阶数是多少?
ii)将该常微分方程转换为系统
X0 = f(t,x),对于t> t0,
一阶微分方程组。
iii)初始条件x0 = x(t0)是什么?
iv)写
•包括Matlab匿名函数myode
•或Matlab函数M文件myode.m
评估向量值函数f(t,x)。组
g = 9.8,T = 1,v0 = 10,s0 =20。(2.1)
v)求解阶数为2的显式Runge-Kutta方法
价值问题
0 = F(t,u)与u(t0)= u0可以总结为
以下公式:对于n = 0、1,…。 。 。 ,N − 1,计算:
ξ1=联合国ξ2=联合国+23hF(tn,ξ1)un + 1 = un +H4
[F(tn,ξ1)+ 3F(tn +23h,ξ2)]。
使用步长为h = 0.1的该方法来估计x(0.1)
ii)具有相同数值的初始值问题
(2.1),如第iv部分)。
Please see over . . .
Term 2, 2019 MATH2089 Page 6
b) [16 marks] Fick’s second law predicts how diffusion causes the concentration u(x, y) of a chemical to vary with position (x, y) ∈ Ω. The
steady state version of Fick’s second law (without interior sources of the
chemical) is Laplace’s equation
∂2u(x, y)∂x2+∂2u(x, y)∂y2= 0. (2.2)
Consider the rectangular domainΩ = {(x, y) ∈ R
2: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1},
and discretize it using h = 1/n and
(xi = ih for i = 0, 1, . . . , 2n,
yj = jh for j = 0, 1, . . . , n.
This is illustrated in Figure 2.1 for n = 5.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
012345
Index i for xi
Index j for yj
Figure 2.1: Discretization of the domain for n = 5 and grid points for part iv)
i) What extra information is needed to completely specify this problem?
ii) You are given the following standard finite difference approximations
for a function f of one variable:
f0(x) = f(x + h) − f(x)h+ O(h),
f0(x) = f(x + h) − f(x − h)2h+ O(h2),f00(x) = f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)h2+ O(h2).
Let ui,j denote the approximation to the value u(xi, yj ) of concentration at the grid point (xi, yj ). Give central difference approximations of accuracy O(h2) to the following derivatives at the point (xi, yj )
A)∂2u∂x2B)∂2u∂y2
Please see over . . .
Term 2, 2019 MATH2089 Page 7
iii) Using the finite difference approximations from the previous part,
show that the equation (2.2) can be approximated by
βui,j − ui+1,j − ui−1,j − ui,j+1 − ui,j−1 = 0, (2.3)
and determine the value of β.
iv) Given that, in appropriate units,
u(x, 0) = u(x, 1) = x for 0 ≤ x < 2,
u(0, y) = 0 for 0 ≤ y ≤ 1,
u(2, y) = 2y for 0 ≤ y ≤ 1,
write down the equation (2.3) for a discretization with n = 5 at the
grid points (marked in Figure 2.1)
A) (x5, y2) B) (x9, y1)
v) You are given that the coefficient matrix A is symmetric positive
definite. Outline an effective way to solve the linear system Au = b.
Please see over . . .


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