这个作业是完成微积分相关的数学练习题
MAT135H1F Calculus 1
Assignment 10 (Ver. A)
1.确定以下每个陈述是对还是错。如果陈述属实,请提供
简短的推理(例如说哪个定理暗含了陈述)。如果声明
是错误的,举一个反例。请注意,在数学上说一个陈述是正确的就是
说该陈述对满足该假设的每个对象都是正确的
声明。
(a)如果f是在[0,1]上定义的函数,且f(0)<2并且f(1)> 2,则存在一个
点[0,1]中的c,使得f(c)= 2。
(b)(0,1)上的任何连续函数都具有全局最小值。
(c)如果f是在[0,1]上定义的函数并且可在(0,1)上求f(0)= 2且可微
f(1)= 4,那么在(0,1)中有一个点c
0
(c)= 2。
(d)如果f是集合U上的函数并且f
0
在U上为正,然后在U上增加f。
2.(a)令a,b≥0。
f(x)= a + b + x
3
–
√3
abx。
确定f是否在[0,∞)上具有全局最小值,如果存在,则找到位于
全局最小值出现的位置。
(b)证明对于每一个a,b,c≥0,我们都有
a + b + c
3
≥
√3
abc
当且仅当a = b = c时才具有等式。 (提示:使用(a)部分。)
3.考虑周长为P且边长为a的三角形。其中
所有这些三角形,找到面积最大的三角形(如果有
三角形)。 (提示:边为a,b,c的三角形的面积A是由苍鹭的
公式A =
p
s(s-a)(s-b)(s-c),其中s =
a + b + c
2
是周长的一半。)
4.汽车在高速公路上行驶。观察者站在高速公路40m处。
设θ为观察者与汽车之间的角度,如图所示
下面。
1个
2
观察者
汽车
θ
40m
角度θ以1的速率减小
8
θ=时的弧度/秒
π
3
。
(a)观察者与汽车之间的距离以什么速率变化
确切的时刻? (回想一下罪恶(
π
3
)=
√
3
2
和cos(
π
3
)= 1
2
)
(b)汽车在该确切时刻行驶多快?
5. Define f on (0, ∞) by f(x) = x
1/x2
.
(a) Find the global maximum and minimum values of f on (0, ∞), if they exist.
If there is no global maximum/minimum, explain why.
(b) Find the positive integer n for which n
1/n2
is the largest.
(c) Find limx→∞
f(x).
6. Evaluate the following limits.
(a) limx→0
sin(x)−x
x
2
(b) limx→0
1
x −
1
e
x−1
(c) limx→0+
x
√
x
7. Determine whether the function
f(x) =
e
−1/√
x
if x > 0
0 if x ≤ 0
is differentiable at 0.