数学代写 | Math 417: Homework 8

本次美国数学代写主要是抽象代数相关

Math 417: Homework 8

Due Friday, April 16, 2021

（5分）练习5.4.2。

（8分）练习5.4.5。

（10分）练习5.4.6。 同构φ1，φ2，φ3是第261页给出的同构。

（10分）练习5.4.8。

（10分）证明以下任何形式的20阶同构酶都是直接同构产物：

（a）对于某些同态α：Z4→Aut（Z5）的Z5􏰀αZ4，或
（b）同态β的Z5􏰀β（Z2×Z2）：Z2×Z2→Aut（Z5）。

（10分）考虑由2×2矩阵组成的组G = SL（2，Z3），在Z3 = {[0]，[1]，[2]}中的行列式等于[1]。 找到G的3个Sylow子群，并写出其元素。 显示由

是G的2个Sylow子群

􏰁[0] [2]􏰂[1] [1]􏰂[1] [0]和[1] [2]

1. (5points)Exercise5.4.2.
2. (8points)Exercise5.4.5.
3. (10 points) Exercise 5.4.6. The homomorphisms φ1,φ2,φ3 are the ones given on page 261.
4. (10points)Exercise5.4.8.
5. (10points)Provethatanygroupoforder20isisomorphictoasemidirectproductofoneofthe following forms:

   (a) Z5 􏰀α Z4 for some homomorphism α : Z4 → Aut(Z5), or
   (b) Z5􏰀β(Z2×Z2)forsomehomomorphismβ:Z2×Z2→Aut(Z5).

6. (10 points) Consider the group G = SL(2,Z3) consisting of 2×2 matrices with entries in Z3 = {[0], [1], [2]} that have determinant equal to [1]. Find a 3-Sylow subgroup of G and write out its elements. Show that the subgroup generated by

is a 2-Sylow subgroup of G.

􏰁[0] [2]􏰂 􏰁[1] [1]􏰂 [1] [0] and [1] [2]

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