这个作业是完成命题逻辑、证明等数学问题

Maths 120 Semester 2, 2020 Assignment 1

问题
1.(命题逻辑和真值表。)在课堂上,我们研究了逻辑运算^,_,),,
和¬。但是,这些并不是唯一存在的逻辑操作!考虑吗?和(,
定义如下:
q
T
F
T
F F F

T
F
T
F
(a)证明复合命题p _ q和p((((p?q)(q)
构造一个真值表(请参阅:您的课程手册的第6页/课程的第2课。)
(b)在(a)中,您证明了我们可以创建与逻辑连接词_等效的东西
仅使用?和(操作。
对操作),¬和^也执行此操作。换句话说:使用变量p,q和
只是两个逻辑连词?和(,创建一个在逻辑上
相当于p)q。然后,对¬p和p ^ q做同样的事情。
1个
2.(纠正错误。)您的朋友正在准备学期中的考试!为了练习,他们尝试了
解决以下问题:
证明以下主张:如果n是整数,则恰好是三个值之一
n,n + 50和n + 100是3的倍数。
他们写了以下内容作为答案:
我们通过使用相反的证明来进行。也就是说,与其证明
n是整数,则恰好是三个值n,n + 50,n + 100中的一个是整数
的3,我们将证明,如果三个值n,n + 50,n + 100中的一个恰好是a
3的倍数,则n必须是整数。
为此,我们取整数n,例如n =7。在这种情况下,我们可以看到
n = 7不是3的倍数,并且n + 100 = 107 = 35·3 + 2也是
不是3的倍数。我们还可以看到n + 50 = 57 = 19·3是3的倍数。
因此,我们的主张成立了,因为这些值之一恰好是3的倍数。
(a)找到您朋友证明中的所有逻辑错误1,并解释为什么错误
您已经在他们的论据中确定了原因。
(b)为您的朋友正在解决的问题写一个有效的解决方案。
3.(证明方法。)假设您有一个3⇥3的网格,并且该网格中的每个正方形都有一个
上面写的数字。您知道这些数字的三件事:
网格中的每个数字都是非负整数。
用任何正方形表示的数字是
所有方格中与它共享边的值。
网格中的g值(如右图所示)为0。
b
d
c
f

根据我们的规则,值e等于
到平均b + d + f + h
4 of its neighbors.
Similarly, the value a is equal to b+d
2 (and
so on/so forth for all of the other values in
our grid.)
What are the possible values in all of the other squares in our grid?
4. (Set operations.)
(a) Let A, B be a pair of subsets of Z. Prove that the following equation always holds:
A \ B = Z \

Z \ A

[
Z \ B

(b) In a sense, (a) shows us that you can “create” the intersection operation \ with just [
and \. That is: if you know how to perform the [ operation and the \ operation, you
can make A \ B without ever actually having to calculate an intersection!
Can you do the same with \? That is: if you have two sets A, B of real numbers, and
can combine them along with Z using \ and [, can you create A \ B? Either find a way
to do this, or explain why this is impossible.
1A logical mistake is an error in the reasoning, not the conclusion. That is: if you want to explain why someone’s
argument is false, you can’t just say “your argument is bad because its conclusion is false;” the person you’re talking
to will just say that the conclusion is actually true and that they’ve proven it! Instead, you want to find a flaw in
their reasoning; i.e. a place where they’ve switched A =) B for B =) A or forgotten an important case in their
proof, or something like that.


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