这个作业是完成非线性代数方程、牛顿法、多项式等相关的数学问题

MATHS 270 Numerical Computation

1.非线性代数方程(20分)
考虑方程f(x)= 0,其中
f(x)= e
-x + sin x。
(a)从初始近似值x0 = 3.1开始,使用NewtonRaphson方法的两次迭代来找到方程的近似解x1和x2。
(b)使用(a)部分中的计算来估计x0和x1中的误差。
(c)无需再进行Newton-Raphson方法的任何迭代,即可估计误差
在x2中。
2.非线性代数方程组(20分)
考虑方程组
Ë
x + e
y = 5
Ë
-x + e
-y = 1。
(a)在系统上执行一次牛顿方法的迭代。从初始近似值x = 0,y = 1开始。
(b)在牛顿法上使用x = 1,y = 1是合适的初始猜测吗?
系统?说明。
(c)为系统的Newton方法的一次迭代编写Matlab代码。您的密码
应该从设置x = 0,y = 1开始,然后通过将x和y设置为获得的值结束
进行一次迭代。
3.线性代数方程的迭代方法(20分)
(a)将高斯-赛德尔方法的一次迭代应用于线性方程组




4 1 0 0
1 4 1 0
0 1 4 1
0 0 1 4




x =




1个
2
3
4





从初始估算[1,
1个
2

1个
3

1个
4
]
Ť
。计算至少为小数点后三位
的地方。
(b)假设您必须找到上述线性方程组的解至少
小数点后六位。您将继续使用Gauss-Seidel方法还是更改为LU
与列枢轴分解。证明你的答案。

4.插补(20分)
(a)使用拉格朗日方法来找到对数据点进行插值的多项式P3(x)
(0,1),(1,2),(2,-4),(4,0)。不要简化P3(x)的表达式。
(b)考虑以下函数f(x)的除差表
0 1
0.5 2 2
1 4 4 2
2 6 2 -4/3 -5/3
(i)使用二次插值多项式模拟f(1.5)。您必须找到
二次多项式,使用上面给出的除差表。
(ii)使用三次插值多项式来估计f(1.5)的估计误差。您必须使用给定的除差表找到三次多项式
以上。
(iii)假设您使用Lagrange方法找到了三次多项式。你会
f(1.5)中的误差估计比(ii)部分中的估计更准确吗?证明
你的答案。
5. Quadrature (20 marks)
Let I be the definite integral
I =
Z 1
0
x
−1/3
dx
The two-point Open Newton Cotes (ONC2) rule applied to I is
b − a
2
[f (a + h) + f (a + 2h)]
where f(x) = x
−1/3
, a = 0 and b = 1 and h = (b − a)/3.
(a) Estimate I by applying the two-point ONC2 twice.
(b) Write a matlab function that estimates I by applying ONC2 N times. The first line of
the function is to be
function Iest = ONC2 (a,b,N)
You may assume the following matlab function is available
function y = f(x)
y = x.^(-1/3);

6. Initial value ordinary differential equations (20 marks)
This question is about finding a numerical solution to the initial value problem
dy
dx = y − x, y(2) = 1.
(a) Estimate y(2.2) using two steps of the following order two explicit Runge-Kutta method
k1 = f(xi−1, yi−1)
k2 = f(xi−1 + h, yi−1 + k1)
yi = yi−1 +
h
2
(k1 + k2)
Do your calculations to at least six decimal places.
(b) Suppose you have to find a numerical approximation to y(3) to three decimal places
using the order-two explicit Runge-Kutta method in part (a). Describe an efficient
scheme for finding the numerical approximation.


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