PROGRAMMING AND NUMERICAL METHODS 18MAP102

1.用数值近似一阶常微分方程的一般系统的解
ÿ
0
（t）= f（t，y（t）），t> 0，
y（0）= y0，

un + 1 = un +Δtf（tn，un），n≥0，（1）

un + 1 = un +Δtf（tn + 1，un + 1），n≥0，（2）

un + 1 = un +
Δt
24
（9f（tn + 1，un + 1）+ 19f（tn，un）-5f（tn-1，un-1）+ f（tn-2，un-2）），（3）

∆t表示离散时间步长。

ÿ
0
1个
（t）= y2（t），0 <t <10，
ÿ
0
2
（t）=-ω
2
y1（t）-2γy2（t），0 <t <10，
y1（0）= 0，
y2（0）= 1。
（4）
（a）为了计算（4）的近似解，我们应用方法（1）-（3）。对于每个

18MAP102–MD继续。 。 。

A ＝ {λΔt＜0：-3 ＜λΔt＜0}。

（c）在γ>ω的情况下，方法（1）-（3）的Δt值绝对稳定吗？
[16]
（d）如果γ= 15且ω= 0.1，您是否将问题（4）描述为刚性的？证明你的答案。

2.考虑边值问题：
−αu00 +βu= 0，0 <x <1，
u（0）= g0，
u（1）= g1，
（5）

1个
10和一个

，xj + 1]，其中xj = jh，对于j = 0，…。 。 。 ，9。
（a）考虑有限差分方案
−α
uj + 1-2uj + uj-1
H
2
+βuj = 0，j = 1，。 。 。 ，9，（6）

。写

TAx> 0，∀x=（x1，…，xm）

m，x 6 =0。[16]
18MAP102–MD继续。 。 。

(b) Prove that the central finite difference approximation
u
00(xj ) ≈
uj+1 − 2uj + uj−1
h
2
, j = 1, . . . , 9 ,
is second-order accurate with respect to h. [6]
(c) Write down the weak form of problem (5) and its Galerkin finite element approximation considering the proposed partition of the interval (0, 1) and a suitable finite
element space Vh spanned by local Lagrangian polynomials of degree 1. What is the
dimension of the space Vh? [12]
(d) Define the local stiffness matrices without computing their entries and state their
dimension. What is the dimension of the global finite element matrix arising from the
approximation studied in part (c)? Sketch the sparsity pattern of the matrix. Is the