这个数值分析的作业是完成一系列数学测试题

PROGRAMMING AND NUMERICAL METHODS 18MAP102

1.用数值近似一阶常微分方程的一般系统的解
ÿ
0
(t)= f(t,y(t)),t> 0,
y(0)= y0,
我们考虑正向欧拉方法:
un + 1 = un +Δtf(tn,un),n≥0,(1)
后向Euler方法:
un + 1 = un +Δtf(tn + 1,un + 1),n≥0,(2)
和n≥2的三步四阶Adams-Moulton方法:
un + 1 = un +
Δt
24
(9f(tn + 1,un + 1)+ 19f(tn,un)-5f(tn-1,un-1)+ f(tn-2,un-2)),(3)
其中u0 = y0,un是在时间tn = nΔt时精确解y(tn)的近似值,并且
∆t表示离散时间步长。
现在考虑以下一阶常微分方程组:
ÿ
0
1个
(t)= y2(t),0 <t <10,
ÿ
0
2
(t)=-ω
2
y1(t)-2γy2(t),0 <t <10,
y1(0)= 0,
y2(0)= 1。
(4)
(a)为了计算(4)的近似解,我们应用方法(1)-(3)。对于每个
方法,指出是否有必要求解线性系统,并分别说明
记下要在通用时间步骤tn + 1处求解的系统的形式,以
计算解的近似值un + 1。指示合适的初始化方式
Adams-Moulton方法(3)并证明您的选择合理。 [14]
18MAP102–MD继续。 。 。

(b)为了分析Adams-Moulton方法(3)的绝对稳定性,我们可以使用
特征多项式((r)。下图显示了多项式Π(r)
相对于r的一些λ∆t值:
通过研究多项式Π(r)的实根的行为,可以证明
Adams-Moulton方法(3)的绝对稳定性的区间为
A = {λΔt<0:-3 <λΔt<0}。
明确说明您用来获得所需结果的标准。 [12]
(c)在γ>ω的情况下,方法(1)-(3)的Δt值绝对稳定吗?
[16]
(d)如果γ= 15且ω= 0.1,您是否将问题(4)描述为刚性的?证明你的答案。
您建议使用(1)-(3)中的哪种方法来解决问题
表示系数γ和ω?的值[8]
2.考虑边值问题:
−αu00 +βu= 0,0 <x <1,
u(0)= g0,
u(1)= g1,
(5)
其中,α,β,g0和g1为常数。考虑离散化步骤h =
1个
10和一个
将区间(0,1)划分为10个子区间[xj
,xj + 1],其中xj = jh,对于j = 0,…。 。 。 ,9。
(a)考虑有限差分方案
−α
uj + 1-2uj + uj-1
H
2
+βuj = 0,j = 1,。 。 。 ,9,(6)
其中uj表示点xj处精确解的近似值
。写
向下与与方案(6)相关的线性系统未知。 。 ,u9。
指出矩阵的维m,即A,并证明它是对称的,并且
正定,即x
TAx> 0,∀x=(x1,…,xm)

m,x 6 =0。[16]
18MAP102–MD继续。 。 。

(b) Prove that the central finite difference approximation
u
00(xj ) ≈
uj+1 − 2uj + uj−1
h
2
, j = 1, . . . , 9 ,
is second-order accurate with respect to h. [6]
(c) Write down the weak form of problem (5) and its Galerkin finite element approximation considering the proposed partition of the interval (0, 1) and a suitable finite
element space Vh spanned by local Lagrangian polynomials of degree 1. What is the
dimension of the space Vh? [12]
(d) Define the local stiffness matrices without computing their entries and state their
dimension. What is the dimension of the global finite element matrix arising from the
approximation studied in part (c)? Sketch the sparsity pattern of the matrix. Is the
matrix symmetric? Justify your answer. [10]


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