这个作业是完成计量经济学相关的问题
ECON6003: Econometric Analysis

Q1。 (35分)结构模型为:
yi = x

iβ+ ei
,我= 1,。 。 。 ,n。
假设有一套工具zi
,其尺寸与回归变量的数量相同。
(i。)(6分)这套工具在哪些条件下有效且相关?说明
(ii。)(6分)写下估计β所需的两组GMM矩条件
在假设E [xiei
] = 0和E [ziei
] = 0。
(iii。)(4分)设OLS估计值为βˆ,OLS残差为eˆi = yi − x

iβˆ,i = 1 ,。 。 。 ,n
令IV估计量为β〜,IV残差为e〜i = yi-x

iβ〜,i = 1,…。 。 。 ,n。如果是
确实,E [xiei
]̸= 0,在某种意义上,IV将比OLS更适合
∑n
i = 1
e〜
2
我<
∑n
i = 1
ˆ
2
一世

至少在大样本中?讨论。
(iv。)(4分)假设您有两个独立且分布均匀的
观察(yi
, X

一世
z

一世
),大小分别为n1和n2。令β〜
1和β〜
2是基于的IV估计量
样本1和样本2。 β〜的概率极限是多少
1和
β〜
2?这些估计中的任何一个是否与β一致?
(v。)(5分)假设β0是两个β〜的概率极限
1和β〜
2.找到渐近线
√的分布
n1(β〜
1 −β0)和√
n2(β〜
2 −β0)。
(vi。)(5分)现在考虑将两个样本合并在一起,并获得合并的IV估计量:
β〜=
(∑
n1,n2
ix

一世
-1

n1,n2
子怡

求出β〜的概率极限(βpool)和√的渐近分布
n(β〜-βpool),
其中n = n1 + n2。
(vii。)(5分)最后,考虑两个IV估计量的平均值β〜
1和β〜
2:
β=
1个
2
(β〜
1 +β〜
2)。
令p = n1 / n并假定该比例固定为n→∞。找到概率
极限βavg和√的渐近分布
n(β¯-βavg)。
Q2。 (15分)假设您对(yi
,xi):(−1,0),(0,1)和
(1,-1)。
(i。)(5分)计算yi的线性回归(没有常数)的OLS估计量
xi
,βˆ。 (您需要提供数字,而不是公式)
(ii。)(5分)查找所有可能的引导样本,并从原始样本中进行替换并重新采样
采样并计算OLS估计量βˆ ∗
对于每个引导程序样本。
(iii。)(5分)求出βˆ ∗分布的第25、50和75个百分位数
。找到50%
Efron的百分位数间隔为β。
Q3. (25 points) Suppose you have a random sample yi
, i = 1, . . . , n, from a distribution such
that E[yi
] = 0 and V ar(yi) = σ
2
.
(i.) (2 pts) Find the asymptotic distribution of √
ny¯, where y¯ =
1
n
∑n
i=1 yi
is the sample
average.
(ii.) (6 pts) Find the asymptotic distribution of
C(σ
2
) = n
σ
2

2
.
Is C(σ
2
) asymptotically pivotal for σ
2
? Explain.
(iii.) (6 pts) Using the result in (ii) provide an asymptotic 95% confidence interval for σ
2
(if
you did not find the asymptotic distribution at point (ii) write the confidence interval in
terms of a generic random variable Z, such that C(σ
2
)
d
→ Z).
(iv.) (6 pts) You are particularly interested in the following hypothesis testing
H0 : σ
2 = 2
H1 : σ
2 > 2
Find the rejection region of the test with asymptotic size 5%.
(v.) (5 pts) A friend suggests that the actual value of σ
2
is 3. What is the probability of
rejecting the null hypothesis above if your friend is right? What about the power of the
test?
STATISTICAL TABLES
Table 1: Critical values of the t distribution
Significance level
1-tailed .10 .05 .025 .01 .005
2-tailed .20 .10 .050 .02 .010
Degrees of freedom
30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750
60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660
∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
Table 2: Quantiles of the χ
2 distribution.
Degrees
of freedom
p
0.025 0.1 0.5 0.90 0.95 0.975
1 0.000 0.016 0.455 2.706 3.841 5.024
2 0.051 0.211 1.386 4.605 5.991 7.378
3 0.216 0.584 2.366 6.251 7.815 9.348
4 0.484 1.064 3.357 7.779 9.488 11.143
5 0.831 1.610 4.351 9.236 11.070 12.832


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