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1. 考虑一系列具有密度的随机变量 Xn

(a) 确定 Xn 极限的候选者并分析收敛性在概率上。 (10 分)
(b) 分析 Xn 在 L1,L2 中的收敛性。 (20 分)

(a) 证明这是一个过滤。 (10 分)
(b) 为 X(!)=1 $ ! 求 E(X|Ft)。 (10 分)
(c) 找出所有 ! 的极限 limt!1 E(X|Ft)(!)。 我们有转换吗?L1,L2,概率? (15 分)
(d) 众所周知,如果 E(X) < 1,则 Y (t)= E(X|Ft)isa鞅。 通过计算 s<t 找到 E(Y (t)|Fs) 的形式条件期望,看它确实等于Y(s)。 (30分数)
(e) 假设 M(t) 是 t 2 [0,T] 的任意鞅到一些过滤 Gt。 证明存在随机变量 X使得 M(t)= E(X|Gt)。 (5 分)

1. Consider a sequence of random variables Xn with densities

(a) Identify the candidate for the limit of Xn and analyse the convergence in probability. (10 marks)
(b) Analyse the convergence of Xn in L1,L2. (20 marks)

(a) Show that this is a filtration. (10 marks)
(b) Find E(X|Ft) for X(!)=1 $ !. (10 marks)
(c) Find the limit limt!1 E(X|Ft)(!) for all !. Do we have the conver-gence in L1, in L2, in probability? (15 marks)
(d) It is a well-known fact that if E(X) < 1, then Y (t)= E(X|Ft)isa martingale. Find the form of E(Y (t)|Fs) for s<t by computing the conditional expectation, to see that it is indeed equal to Y (s). (30marks)
(e) Suppose M(t) is an arbitrary martingale for t 2 [0,T]withrespect to some filtration Gt. Show that there exists a random variable X such that M(t)= E(X|Gt). (5 marks)

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