这个作业是完成微积分相关的数学练习题
MAT135H1F Calculus 1
Assignment 10 (Ver. A)
1.确定以下每个陈述是对还是错。如果陈述属实，请提供
简短的推理（例如说哪个定理暗含了陈述）。如果声明
是错误的，举一个反例。请注意，在数学上说一个陈述是正确的就是
说该陈述对满足该假设的每个对象都是正确的
声明。
（a）如果f是在[0，1]上定义的函数，且f（0）<2并且f（1）> 2，则存在一个
点[0，1]中的c，使得f（c）= 2。
（b）（0，1）上的任何连续函数都具有全局最小值。
（c）如果f是在[0，1]上定义的函数并且可在（0，1）上求f（0）= 2且可微
f（1）= 4，那么在（0，1）中有一个点c
0
（c）= 2。
（d）如果f是集合U上的函数并且f
0
在U上为正，然后在U上增加f。
2.（a）令a，b≥0。
f（x）= a + b + x
3
–
√3
abx。
确定f是否在[0，∞）上具有全局最小值，如果存在，则找到位于
全局最小值出现的位置。
（b）证明对于每一个a，b，c≥0，我们都有
a + b + c
3
≥
√3
abc
当且仅当a = b = c时才具有等式。 （提示：使用（a）部分。）
3.考虑周长为P且边长为a的三角形。其中
所有这些三角形，找到面积最大的三角形（如果有
三角形）。 （提示：边为a，b，c的三角形的面积A是由苍鹭的
公式A =
p
s（s-a）（s-b）（s-c），其中s =
a + b + c
2
是周长的一半。）
4.汽车在高速公路上行驶。观察者站在高速公路40m处。
设θ为观察者与汽车之间的角度，如图所示
下面。
1个
2
观察者
汽车
θ
40m
角度θ以1的速率减小
8
θ=时的弧度/秒
π
3
。
（a）观察者与汽车之间的距离以什么速率变化
确切的时刻？ （回想一下罪恶（
π
3
）=
√
3
2
和cos（
π
3
）= 1
2
）
（b）汽车在该确切时刻行驶多快？
5. Define f on (0, ∞) by f(x) = x
1/x2
.
(a) Find the global maximum and minimum values of f on (0, ∞), if they exist.
If there is no global maximum/minimum, explain why.
(b) Find the positive integer n for which n
1/n2
is the largest.
(c) Find limx→∞
f(x).
6. Evaluate the following limits.
(a) limx→0
sin(x)−x
x
2
(b) limx→0
1
x −
1
e
x−1
(c) limx→0+
x
√
x
7. Determine whether the function
f(x) =
e
−1/√
x
if x > 0
0 if x ≤ 0
is differentiable at 0.