这次作业是完成微积分相关的数学问题
MAT137Y1 – Calculus!
Test 1 — May 28th, 2018
1. [每个2分]计算以下四个极限，或者说它们不存在。对于中的限制
这个问题你不需要提供-δ证明。
（一）林
x→0
罪恶
Ë
1 / x
您的答案：0
我们有
-| x | ≤x sin（e
1 / x）≤| x |
因此我们可以应用挤压定理。
（b）limx→π
cos2
X
2
</ s> </ s> </ s>
tan2
（2x +1）
罪2
（2x +1）您的答案：
cos2
π
2
</ s> </ s> </ s>
cos2（2π+1）
此函数在π处连续。
页2的
（c）林
x→2
√
3 − x − 1
| 2 − x |
您的答案：DNE
√
3 − x − 1
| 2 − x |
=
（
√
3 − x − 1）（√
3 − x + 1）
| 2 − x |（
√
3 − x + 1）
=
2 − x
| 2 − x |（
√
3 − x + 1）
=
（
√
1个
3−x + 1，x <2
√-1
3−x + 1，x> 2
。
左侧极限为1/2，右侧极限为-1/2。
（d）林
x→0
cos（2x）− 1
sin（2x）x
您的答案：-1
cos（2x）− 1
sin（2x）x
=
（cos（2x）− 1）（cos（2x）+1）
sin（2x）x（cos（2x）+ 1）
=
cos2
（2x）− 1
sin（2x）x（cos（2x）+ 1）
=
− sin2
（2x）
sin（2x）x（cos（2x）+ 1）
=
sin（2x）
2倍
−2
（cos（2x）+1）
使用那个limx→0
sin（2x）
2x = 1给出答案。
2. [7分]
（a）[2分]写下陈述的-δ定义
林
x→−1
f（x）= 0。
答案：对于每个> 0，都存在一个δ> 0，使得
0 <| x + 1 | <δ=⇒| f（x）| <。
（b）[5分]令f（x）= 2 | x + 1 |。使用极限的-δ定义证明
林
x→−1
f（x）= 0。
答案：设>0。选择δ= / 2，设x为0 <| x + 1 |。 <δ。然后
| f（x）| = 2 | x + 1 | <2δ=。
因此limx→-1 f（x）= 0。
问题2b的额外空间。
3.确定以下每个陈述是对还是错，并圈出正确答案。
如果为真，请写下证明。如果为假，请提供反例。
（a）[3分]
x→0
f（| x |）存在，则lim
x→0
f（x）存在。
答案：（第一个圆圈）是否
答：错。采取
f（x）=（
1，x≥0
-1，x <0
。
然后
林
x→0
f（| x |）= lim
x→0 +
f（x）= 1
但
林
x→0−
f（x）= -1，
如此苗条
x→0
f（x）不存在。
（b）[3分]
x→0
f（x）存在，则lim
x→0
f（| x |）存在。
答案：（第一个圆圈）是否
答：是的。令f为
L = lim
x→0
f（x）。 （1）
我们将证明L = lim
x→0
f（| x |）。 Fix>0。通过等式（1），我们可以找到一个δ> 0，从而
如果x∈（-δ，0）∪（0，δ），则| f（x）− L | <。
现在，对于任何x∈（-δ，0）∪（0，δ），我们有| x |。 ∈（0，δ）⊂（-δ，0）∪（0，δ），所以| f（| x |）-L | <
也一样因此
L = lim
x→0
f（| x |）。
[在这里的解决方案中，我在按顺序描述可能x的范围时使用了设置符号
避免有太多| x |条款。]
4.令f和g为具有域R的函数。如果每个x∈R，f都鼓励g。
存在一个y∈[x，x + 1]使得g（y）> f（x）。
（a）[2分]写下“ f不鼓励g”的定义。
如果存在x∈R，则f不鼓励g，使得对于每个y∈[x，x + 1]，我们
令g（y）≤f（x）。
（b）[3分]举一个例子，提供函数f和g的显式方程，其中
域R这样
f鼓励g并且g鼓励f。
一个这样的例子是g（x）= f（x）= x。
5.该问题使用上一个问题中鼓励的定义。
（a）[2分]陈述中间值定理。
令f是形式为[a，b]的封闭和有界区间上的连续函数。然后
对于任何满足f（a）≤c≤f（b）的实数c，存在点x∈[a，b]这样
f（x）= c。
（b）[4分]令f和g为具有域R的连续函数。假设f
鼓励g并且
林
x→1
f（x）= g（0）+ 1。
用中间值定理证明对于每个c∈[g（0），g（0）+1），
存在一个x∈R使得g（x）= c。
令c∈[g（0），g（0）+1）是任意的。我们首先证明存在x0> 0这样
f（x0）> c。确实，如果我们设置ε= | g（0）+1-c | （肯定），然后因为
limx→1 f（x）= g（0）+ 1，存在δ> 0使得
0 <| w − 1 | <δ⇒| f（w）−（g（0）+1）| <ε。
然后，取x0满足0 <| x0 − 1 |的任何正数就足够了。 <δ，因为
不等式| f（x0）−（g（0）+1）| <ε意味着f（x0）> c。
使用f鼓励g，存在x1∈[x0，x0 + 1]使得g（x1）> f（x0），其中
意味着g（x1）> c。由于g在间隔[0，x1]上连续且g（0）≤c <g（x1），
中间值定理意味着存在具有属性的x∈[0，x1]
g（x）= c，这是我们需要显示的。
6. (a) [3 points] Let f(x) = √
x. Use the definition of the derivative to show that f
0
(a) = 1
2
√
a
for all a > 0. You do not need to provide an − δ proof here.
By definition, we have
f
0
(a) = limx→a
√
x −
√
a
x − a
= limx→a
(
√
x −
√
a)(√
x +
√
a)
(x − a)(√
x +
√
a)
= limx→a
(x − a)
(x − a)(√
x +
√
a)
= limx→a
1
√
x +
√
a
=
1
2
√
a
.
Here in the last step we used that the function 1/(
√
x +
√
a) is continuous at a.
(b) [4 points] Let f(x) = x
n/2
for some positive integer n. Use induction and part (a) to
prove that
f
0
(a) = (n/2)a
n/2−1
for all a > 0. For this question you may not use the fact that
d
dx(x
r
) = rxr−1
,
for values of r 6= 1/2 (of course, you are allowed to prove this formula for other any
values of r that you require). You are allowed to use general rules for taking derivatives
of combinations of functions (i.e. chain rule, product rule, quotient rule).
We prove this by induction on the positive integer n. The base case is n = 1, which is
exactly what we showed in (a). Now suppose this equation holds for a certain n ≥ 1,
we’ll prove it holds for n + 1 as well. First, we write our function as
f(x) = x
(n+1)/2 = x
n/2
· x
1/2
.
Then, using the product rule, the induction hypothesis and part (a), we obtain
f
0
(a) = ((n/2)a
n/2−1
) · a
1/2 + a
n/2
· (
1
2
√
a
) = ((n + 1)/2)a
(n+1)/2−1
.
This completes the induction step and therefore the proof.
7. [5 points]
Determine all the values of k ∈ R so that the line y(x) = kx − 3 is tangent to the graph of
the function f(x) = x
2 − 2x.
For the line y to be tangent to the graph of f at some point (x, f(x)), we need
kx − 3 = x
2 − 2x
so that the line intersects the graph and
k = 2x − 2
so that the slope of the line is equal to the derivative of f. Plugging the second equation into
the first, we obtain
(2x − 2)x − 3 = x
2 − 2x
which is equivalent to x = ±
√
3, and therefore k = ±2
√
3 − 2. Just to be clear, the above
means that there are two values of k for which y is tangent to the graph of f: k = 2√
3 − 2
(intersecting the graph at the point with x =
√
3) and k = −2
√
3 − 2 (intersecting the graph
at the point with x = −
√
3).
Extra space.