这个作业是用Matlab解决牛顿法相关的数学问题
Math 4800 Problem Set 3 Due
1.（10分）后退和前进错误。
（a）找到前向误差（解误差），后向误差（残差）和误差放大系数，
EMF，对于以下函数，其中精确根为xe = 3/5，近似根为
xa = 0.61。在计算EMF时，假设相对误差与绝对误差相同
错误。
1. f（x）= 5x-3
2. f（x）=（5x-3）2
3. f（x）=（5x-3）3
4. f（x）=（5x-3）7
5. f（x）=（5x-3）1/3
（b）使用bisect Matlab函数和Matlab函数fzero计算近似值
到函数的零
f = @（x）x。^ 5-（5/3）* x。^ 4 +（10/9）* x。^ 3-（10/27）* x。^ 2 +（5/81）* x-1 / 243；
（这是（x-
1个
3
）
5
）尽可能准确。要显示所有数字，您可以使用
fprintf（’来自等分线的解决方案：xc =％22.16e，f（xc）=％9.2e \ n’，xc，f（xc））；
每种情况下的正向和反向错误是什么？这是状况良好还是病态
问题（解释一下）？
2.（10分）牛顿法。
（a）从分析上证明，牛顿法在发现时的任何初始猜测都可以一步收敛
当b 6 = 0时，线性函数的根f（x）= a + bx。
（b）推导使用牛顿法求实数a的立方根的公式（按
找到x的根
3 = a）。简化结果表达式。使用计算器确定
计算81/3时，前4个牛顿迭代xk，k = 1，2，3，4，
从最初的猜测
x0 = 1。
（c）推导用于使用牛顿法找到某人的实数a的第p个根的公式
实数简化结果表达式。
1个
3.（10分）估计收敛顺序。
考虑解决方程f（x）=0。让xn表示对解的猜测，xe表示精确
解决方案，en = xn − xe步骤n的误差。
（a）使用泰勒的Thereom来证明
恩≈
f（xn）
F
0（xe）
假设en足够小而f
0
（xe）6 =0。因此，残差（后向误差）f（xn）与解误差（前向误差）en成正比。
（b）方案的收敛阶数p定义为值p，使得
en + 1
（en）
p
≈M =常数，当n→∞时
其中M是一个有限且非零的常数。使用（a）的结果表明
f（xn + 1）
f（xn）
p
≈N =常数
对于其他常数N（您可以假设f
0
（xe）是一个非零常数）。
（c）使用（b）的结果得出p的以下近似公式，
p≈
log（Rn + 1）
对数（Rn）
，（1）
其中Rn是步骤n和步骤n − 1的残差的绝对值之比，
Rn =
| f（xn）|
| f（xn−1）|
。
4. (20 pts)
(a) Implement Newton’s method in a Matlab function to find a solution to a scalar problem
f(x) = 0 .
%
% Find an approximate solution to a scalar equation
% f(x)=0
% by Newton’s method
%
% f (input) : function f(x)
% fx (input) : function that defines f’(x)
% x0 (input) : initial guess
% tol (input) : convergence tolerance
% xc (output) : approximate solution
% maxIterations (input) : maximum number of iterations
function [xc] = solveEquationByNewton( f,fx,x0,tol,maxIterations )
• Iterate until |f(xc)| < tol.
2
• Keep track of the iteration number, k, and take at most maxIterations iterations. Print an
error message if the maximum number of iterations is exceeded.
• Avoid evaluating the function f(x) more times than necessary.
• Add a statement to the code that outputs the current values for k, xk, f(xk), ratio =
f(xk)/f(xk−1) and p (estimated order of convergence from equation (1)) at iteration k =
1, 2, . . . . You could use the following statements:
if( k==1 ) % do not print p first time
fprintf(’Newton: it=%2d: x=%13.6e f(x)=%9.2e ratio=%9.2e\n’,k,xc,fc,ratio);
else
fprintf(’Newton: it=%2d: x=%13.6e f(x)=%9.2e ratio=%9.2e p=%4.2f\n’,k,xc,fc,ratio,p);
end;
(b) Test your Newton solver by finding √
7 by looking for a root to f(x) = x
2 − 7 = 0 using an
initial guess x0 = 1. (Use tol = 10−12 and maxIterations = 20). Hint: Make sure that you see
quadratic convergence (approximately).
(c) Use your Newton solver to find all 3 real roots to the nonlinear equation
f =
1
2
exp(sin3
(x)) + x
6 − 2.5 x
4 − x
3 −
1
2
.
• First plot the function f(x) on [−2, 2] to determine a rough initial guess that can be used for
each root. Include the plot with your answer.
• For each root determine whether the algorithm converges quadratically (approximately) or
at some other rate. Use tol = 10−12 and maxIterations = 20.