这个作业是完成命题逻辑、证明等数学问题
Maths 120 Semester 2, 2020 Assignment 1
问题
1.（命题逻辑和真值表。）在课堂上，我们研究了逻辑运算^，_，），，
和¬。但是，这些并不是唯一存在的逻辑操作！考虑吗？和（，
定义如下：
q
T
F
T
F F F
则
T
F
T
F
（a）证明复合命题p _ q和p（（（（p？q）（q）
构造一个真值表（请参阅：您的课程手册的第6页/课程的第2课。）
（b）在（a）中，您证明了我们可以创建与逻辑连接词_等效的东西
仅使用？和（操作。
对操作），¬和^也执行此操作。换句话说：使用变量p，q和
只是两个逻辑连词？和（，创建一个在逻辑上
相当于p）q。然后，对¬p和p ^ q做同样的事情。
1个
2.（纠正错误。）您的朋友正在准备学期中的考试！为了练习，他们尝试了
解决以下问题：
证明以下主张：如果n是整数，则恰好是三个值之一
n，n + 50和n + 100是3的倍数。
他们写了以下内容作为答案：
我们通过使用相反的证明来进行。也就是说，与其证明
n是整数，则恰好是三个值n，n + 50，n + 100中的一个是整数
的3，我们将证明，如果三个值n，n + 50，n + 100中的一个恰好是a
3的倍数，则n必须是整数。
为此，我们取整数n，例如n =7。在这种情况下，我们可以看到
n = 7不是3的倍数，并且n + 100 = 107 = 35·3 + 2也是
不是3的倍数。我们还可以看到n + 50 = 57 = 19·3是3的倍数。
因此，我们的主张成立了，因为这些值之一恰好是3的倍数。
（a）找到您朋友证明中的所有逻辑错误1，并解释为什么错误
您已经在他们的论据中确定了原因。
（b）为您的朋友正在解决的问题写一个有效的解决方案。
3.（证明方法。）假设您有一个3⇥3的网格，并且该网格中的每个正方形都有一个
上面写的数字。您知道这些数字的三件事：
网格中的每个数字都是非负整数。
用任何正方形表示的数字是
所有方格中与它共享边的值。
网格中的g值（如右图所示）为0。
b
d
c
f
吉
根据我们的规则，值e等于
到平均b + d + f + h
4 of its neighbors.
Similarly, the value a is equal to b+d
2 (and
so on/so forth for all of the other values in
our grid.)
What are the possible values in all of the other squares in our grid?
4. (Set operations.)
(a) Let A, B be a pair of subsets of Z. Prove that the following equation always holds:
A \ B = Z \
⇣
Z \ A
[
Z \ B
⌘
(b) In a sense, (a) shows us that you can “create” the intersection operation \ with just [
and \. That is: if you know how to perform the [ operation and the \ operation, you
can make A \ B without ever actually having to calculate an intersection!
Can you do the same with \? That is: if you have two sets A, B of real numbers, and
can combine them along with Z using \ and [, can you create A \ B? Either find a way
to do this, or explain why this is impossible.
1A logical mistake is an error in the reasoning, not the conclusion. That is: if you want to explain why someone’s
argument is false, you can’t just say “your argument is bad because its conclusion is false;” the person you’re talking
to will just say that the conclusion is actually true and that they’ve proven it! Instead, you want to find a flaw in
their reasoning; i.e. a place where they’ve switched A =) B for B =) A or forgotten an important case in their
proof, or something like that.