本次澳洲代写主要为线性代数限时测试
37233线性代数
工作坊8
问题1
让
y =
</ s> </ s> </ s> </ s> </ s>
7
1个
</ s> </ s> </ s> </ s> </ s>
和u =
</ s> </ s> </ s> </ s> </ s>
8
-6
</ s> </ s> </ s> </ s> </ s>
（a）编写y = ˆ y + z的正交分解，其中ˆ y = proju y和z⊥u。
（b）计算从y到通过u的直线和原点的距离。
问题2
考虑以下向量：
v1 =
1个
1个
1个
，v2 =
-1
3
−2
，y =
-1
4
3
（a）找出每个向量的长度。
（b）确定这些向量中的任何一个是否彼此正交。
（c）指定v1，v2是否构成W = Span {v1，v2}的基础，以及哪种基础。
（d）获得y = ˆ y + z的正交分解，其中ˆ y∈W和z∈W⊥。
（e）找出y到W的距离。
问题3
考虑以下W = Span {a1，a2，a3}的基础：
a1 =
1个
-1
1个
-1
a a2 =
4
2个
2个
0
a a3 =
4
3
2个
1个
（a）使用Gram–Schmidt过程构造W的正交基{v1，v2，v3}。
（b）从（a）中找到的正交集合中获得正交基{u1，u2，u3}。
问题4
找出正交矩阵是否有可能使所有条目都为正。
问题5
让
U = [u1 u2] =
2/3 -2/3
1/3 2/3
2/3 1/3
和y =
4
8
1个
（a）使用U，检查u1和u2是否构成W = ColU的正交基。
（b）使用U计算投影
问题6
将W的基础从先前的问题扩展到R3的正交基础U
。
考虑另一组向量，形成矩阵
Q = [q1 q2 q3] =
1 0 0
0 4/5 3/5
0 3/5 −4/5
（a）检查{q1 q2 q3}是否为R3的正交基Q
。
（b）计算QQT并根据预测解释结果。
（c）计算基矩阵PQ←U从U到Q的变化。
（d）根据定理，矩阵PQ←U必须正交。通过分析其属性进行验证。
37233 Linear Algebra
Workshop 8
Question 1
Let
y =
7
1
and u =
8
−6
(a) Write an orthogonal decomposition of y = ˆ y + z where ˆ y = proju y and z ⊥ u.
(b) Compute the distance from y to the line through u and the origin.
Question 2
Consider the following vectors:
v1 =
1
1
1
, v2 =
−1
3
−2
, y =
−1
4
3
(a) Find the length of each vector.
(b) Determine if any of these vectors are orthogonal to each other.
(c) Specify if v1, v2 form a basis for W = Span{v1, v2}, and what kind of basis.
(d) Obtain an orthogonal decomposition of y = ˆ y + z where ˆ y ∈ W and z ∈ W⊥.
(e) Find the distance from y to W.
Question 3
Consider the following basis for W = Span{a1, a2, a3}:
a1 =
1
−1
1
−1
, a2 =
4
2
2
0
, a3 =
4
3
2
1
(a) Construct an orthogonal basis {v1, v2, v3} for W using the Gram–Schmidt process.
(b) Obtain an orthonormal basis {u1, u2, u3} from the orthogonal set found in (a).
Question 4
Figure out if it is possible for an orthogonal matrix to have all the entries positive.Additional questions
Question 5
Let
U = [ u1 u2 ] =
2/3 −2/3
1/3 2/3
2/3 1/3
and y =
4
8
1
(a) Using U, check if u1 and u2 form an orthonormal basis for W = ColU.
(b) Calculate projW y using U.
Question 6
Extend the basis for W from the previous problem, to an orthonormal basis U for R3
.
Consider another set of vectors, forming matrix
Q = [ q1 q2 q3 ] =
1 0 0
0 4/5 3/5
0 3/5 −4/5
(a) Check if { q1 q2 q3 } is an orthonormal basis Q for R3
.
(b) Calculate QQT and interpret the result in terms of projections.
(c) Calculate the change of basis matrix PQ←U from U to Q.
(d) By theorem, matrix PQ←U must be orthogonal. Verify it by analysing its properties.
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