这个作业是完成计量经济学相关的问题
ECON6003: Econometric Analysis
Q1。 （35分）结构模型为：
yi = x
′
iβ+ ei
，我= 1,。 。 。 ，n。
假设有一套工具zi
，其尺寸与回归变量的数量相同。
（i。）（6分）这套工具在哪些条件下有效且相关？说明
（ii。）（6分）写下估计β所需的两组GMM矩条件
在假设E [xiei
] = 0和E [ziei
] = 0。
（iii。）（4分）设OLS估计值为βˆ，OLS残差为eˆi = yi − x
′
iβˆ，i = 1 ，。 。 。 ，n
令IV估计量为β〜，IV残差为e〜i = yi-x
′
iβ〜，i ＝ 1，…。 。 。 ，n。如果是
确实，E [xiei
]̸= 0，在某种意义上，IV将比OLS更适合
∑n
i = 1
e〜
2
我<
∑n
i = 1
ˆ
2
一世
，
至少在大样本中？讨论。
（iv。）（4分）假设您有两个独立且分布均匀的
观察（yi
， X
′
一世
z
′
一世
），大小分别为n1和n2。令β〜
1和β〜
2是基于的IV估计量
样本1和样本2。 β〜的概率极限是多少
1和
β〜
2？这些估计中的任何一个是否与β一致？
（v。）（5分）假设β0是两个β〜的概率极限
1和β〜
2.找到渐近线
√的分布
n1（β〜
1 −β0）和√
n2（β〜
2 −β0）。
（vi。）（5分）现在考虑将两个样本合并在一起，并获得合并的IV估计量：
β〜=
（∑
n1，n2
ix
′
一世
-1
∑
n1，n2
子怡
。
求出β〜的概率极限（βpool）和√的渐近分布
n（β〜-βpool），
其中n = n1 + n2。
（vii。）（5分）最后，考虑两个IV估计量的平均值β〜
1和β〜
2：
β=
1个
2
（β〜
1 +β〜
2）。
令p = n1 / n并假定该比例固定为n→∞。找到概率
极限βavg和√的渐近分布
n（β¯-βavg）。
Q2。 （15分）假设您对（yi
，xi）：（−1，0），（0，1）和
（1，-1）。
（i。）（5分）计算yi的线性回归（没有常数）的OLS估计量
xi
，βˆ。 （您需要提供数字，而不是公式）
（ii。）（5分）查找所有可能的引导样本，并从原始样本中进行替换并重新采样
采样并计算OLS估计量βˆ ∗
对于每个引导程序样本。
（iii。）（5分）求出βˆ ∗分布的第25、50和75个百分位数
。找到50％
Efron的百分位数间隔为β。
Q3. (25 points) Suppose you have a random sample yi
, i = 1, . . . , n, from a distribution such
that E[yi
] = 0 and V ar(yi) = σ
2
.
(i.) (2 pts) Find the asymptotic distribution of √
ny¯, where y¯ =
1
n
∑n
i=1 yi
is the sample
average.
(ii.) (6 pts) Find the asymptotic distribution of
C(σ
2
) = n
σ
2
y¯
2
.
Is C(σ
2
) asymptotically pivotal for σ
2
? Explain.
(iii.) (6 pts) Using the result in (ii) provide an asymptotic 95% confidence interval for σ
2
(if
you did not find the asymptotic distribution at point (ii) write the confidence interval in
terms of a generic random variable Z, such that C(σ
2
)
d
→ Z).
(iv.) (6 pts) You are particularly interested in the following hypothesis testing
H0 : σ
2 = 2
H1 : σ
2 > 2
Find the rejection region of the test with asymptotic size 5%.
(v.) (5 pts) A friend suggests that the actual value of σ
2
is 3. What is the probability of
rejecting the null hypothesis above if your friend is right? What about the power of the
test?
STATISTICAL TABLES
Table 1: Critical values of the t distribution
Significance level
1-tailed .10 .05 .025 .01 .005
2-tailed .20 .10 .050 .02 .010
Degrees of freedom
30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750
60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660
∞ 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
Table 2: Quantiles of the χ
2 distribution.
Degrees
of freedom
p
0.025 0.1 0.5 0.90 0.95 0.975
1 0.000 0.016 0.455 2.706 3.841 5.024
2 0.051 0.211 1.386 4.605 5.991 7.378
3 0.216 0.584 2.366 6.251 7.815 9.348
4 0.484 1.064 3.357 7.779 9.488 11.143
5 0.831 1.610 4.351 9.236 11.070 12.832