这个作业是用R语言查找分布的概率值或分位数

STATS 310/732, 2020 Assignment 4
1. [18分]假设X〜Gamma(2,θ)。我们希望使用单个值X = x进行测试
零假设
H0:θ= 1
反对替代假设
H1:θ= 2。
用C = {x:x <aα}表示显着性水平的测试关键区域
α= 0.05。
(注意:我们的比例参数θ是R函数中Gamma的速率参数
分配。)
(a)[2分]什么是样本空间S,参数空间Θ和空参数
测试的空间θ0?
(b)[2分]计算aα。
(c)[2分]计算测试的功效。
(d)[2分]计算II型错误的概率。
(e)[2分]表明该测试在α级上最有效。
(f)[2分]表明该测试在以下情况下也是统一功能最强大的(UMP)测试:
替代假设被H1取代:θ> 1。
(g)[2分]表明当替代假设为时​​,不存在UMP检验。
替换为H1:θ6 = 1。
(h)[2分]将上述结果扩展到更普遍的情况,其中X1,。 。 。 ,Xn
艾德〜
Gamma(2,θ)。表明存在用于针对H1:θ> 1来测试H0:θ= 1的UMP测试
并具有形式为Cα= {x:x <bα}的临界区,其中x = n
-1 Pn
i = 1西

(i)[2分]当n = 10且α= 0.05时,计算bα的值。
(提示:Pn的分布是什么
i = 1 H0下的Xi?)
1个
2. [12分]分别使x〜多项式(n1,p)和y〜多项式(n2,q),
其中p =(p1,p2,p3)
Ť
和q =(q1,q2,q3)
Ť
。表示θ=(p
Ť
q
Ť

Ť
其MLE为θb。
(a)[3分]显示θb=(x
T / n1,y
T / n2)
Ť

(b)[3分]在限制p1 = q1下找到MLEθb。
(c)[6分]对于n1和n2都大的近似零分布
以下测试的−2 log(LR)的值?您不需要为导出表达式
−2 log(LR)。
(i)H0:p1 = q1,而H1:p1 6 = q1;
(ii)H0:p = q,而H1:p 6 = q。
(iii)H0:相对于H1,p1 = p2 = p3 = q1 = q2 = q3:至少一个不同。
3. [20分]实验者获得独立随机变量的观测值ijij
Yij,对于i = 1,2和j = 1,。 。 。 ,n,在哪里
E(Yij)=αi+β(xj − x),
xj是样本均值x的数值解释变量的第j个值。表示
ǫij= Yij − E(Yij)的误差,并假定assumeij
iid〜N(0,σ2
)对于所有i和j。注意σ
2
是所有错误的共同点。
此外,表示yi =(yi1,…,yin)
T和ǫi=(ǫi1,…,ǫin)
Ť
,对于i = 1、2和z =(x1 −
X, 。 。 。 ,xn − x)
Ť
。同样,0n和1n是长度为n的向量,元素为0,并且1,
分别。
(a)[4分]表明该模型可以表示为
y =
</ s> </ s> </ s>
11
22
</ s> </ s> </ s>
=
</ s> </ s> </ s>
1n 0n z
0n 1n z
</ s> </ s> </ s>


α1
α2
β

+
</ s> </ s> </ s>
ǫ1
ǫ2
</ s> </ s> </ s>

(b)[4分]显示β=(α1,α2,β)的最小二乘估计
Ť

βb=


11
22
(z
1+ z
T y2)/(2z



yi = n
-1 Pn
j = 1 yij。
(c)[4分]表明βb的协方差矩阵为
Cov(βb)=σ
2


1个
ñ
0 0
0
1个
ñ
0
0 0(2z

-1

。

(d) [4 marks] Verify that the estimate of σ
2
is
s
2 =
(n − 1)(s
2
1 + s
2
2
)
2n − 3
,
where s
2
i = (n − 1)−1 Pn
j=1(yij − yi − βzb j )
2
for i = 1, 2.
2
(e) [4 marks] If one would like to find the least squares estimate under the assumption
α1 = α2, one can rewrite the model using only two parameters such as β
∗ = (α1, β1)
T
,
in the form
y = X∗β
∗ + ǫ,
where ǫ = (ǫ
T
1
, ǫ
T
2
)
T
. Write down the new design matrix X∗ and find the least
squares estimator of β

.
3
** Extra Questions for STATS 732 Only **
4. [6 marks] Show that the Bayes estimator of θ under loss
l(θ, θ b ) = |θb− θ|
is the median (any median, if more than one) of the posterior density π(θ|x).
5. [14 marks] Assume that X1, . . . , Xn
iid∼ N(0, θ−1
) and the prior distribution of θ is
Gamma(k, λ).
(a) [4 marks] Show that the posterior distribution of θ is Gamma
k +
1
2
, λ +
1
2
ny
,
where y =
1
n
Pn
i=1 x
2
i
.
(b) [4 marks] Find the density function of the marginal distribution of Y =
1
n
Pn
i=1 X2
i
.
For the following parts, let k = 5, λ = 3, n = 10 and y = 1.
(c) [2 marks] Compute the Bayes estimate of θ under the squared error loss.
(d) [2 marks] Compute the central 95% credible interval for θ.
(e) [2 marks] Compute the narrowest 95% credible interval for θ.


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