这个作业是用R语言查找分布的概率值或分位数
STATS 310/732, 2020 Assignment 4
1. [18分]假设X〜Gamma（2，θ）。我们希望使用单个值X = x进行测试
零假设
H0：θ= 1
反对替代假设
H1：θ= 2。
用C = {x：x <aα}表示显着性水平的测试关键区域
α= 0.05。
（注意：我们的比例参数θ是R函数中Gamma的速率参数
分配。）
（a）[2分]什么是样本空间S，参数空间Θ和空参数
测试的空间θ0？
（b）[2分]计算aα。
（c）[2分]计算测试的功效。
（d）[2分]计算II型错误的概率。
（e）[2分]表明该测试在α级上最有效。
（f）[2分]表明该测试在以下情况下也是统一功能最强大的（UMP）测试：
替代假设被H1取代：θ> 1。
（g）[2分]表明当替代假设为时，不存在UMP检验。
替换为H1：θ6 = 1。
（h）[2分]将上述结果扩展到更普遍的情况，其中X1，。 。 。 ，Xn
艾德〜
Gamma（2，θ）。表明存在用于针对H1：θ> 1来测试H0：θ= 1的UMP测试
并具有形式为Cα= {x：x <bα}的临界区，其中x = n
-1 Pn
i = 1西
。
（i）[2分]当n = 10且α= 0.05时，计算bα的值。
（提示：Pn的分布是什么
i = 1 H0下的Xi？）
1个
2. [12分]分别使x〜多项式（n1，p）和y〜多项式（n2，q），
其中p =（p1，p2，p3）
Ť
和q =（q1，q2，q3）
Ť
。表示θ=（p
Ť
q
Ť
）
Ť
其MLE为θb。
（a）[3分]显示θb=（x
T / n1，y
T / n2）
Ť
。
（b）[3分]在限制p1 = q1下找到MLEθb。
（c）[6分]对于n1和n2都大的近似零分布
以下测试的−2 log（LR）的值？您不需要为导出表达式
−2 log（LR）。
（i）H0：p1 = q1，而H1：p1 6 = q1；
（ii）H0：p = q，而H1：p 6 = q。
（iii）H0：相对于H1，p1 ＝ p2 ＝ p3 ＝ q1 ＝ q2 ＝ q3：至少一个不同。
3. [20分]实验者获得独立随机变量的观测值ijij
Yij，对于i = 1，2和j = 1，。 。 。 ，n，在哪里
E（Yij）=αi+β（xj − x），
xj是样本均值x的数值解释变量的第j个值。表示
ǫij= Yij − E（Yij）的误差，并假定assumeij
iid〜N（0，σ2
）对于所有i和j。注意σ
2
是所有错误的共同点。
此外，表示yi =（yi1，…，yin）
T和ǫi=（ǫi1，…，ǫin）
Ť
，对于i = 1、2和z =（x1 −
X， 。 。 。 ，xn − x）
Ť
。同样，0n和1n是长度为n的向量，元素为0，并且1，
分别。
（a）[4分]表明该模型可以表示为
y =
</ s> </ s> </ s>
11
22
</ s> </ s> </ s>
=
</ s> </ s> </ s>
1n 0n z
0n 1n z
</ s> </ s> </ s>
α1
α2
β
+
</ s> </ s> </ s>
ǫ1
ǫ2
</ s> </ s> </ s>
。
（b）[4分]显示β=（α1，α2，β）的最小二乘估计
Ť
是
βb=
11
22
（z
1+ z
T y2）/（2z
则
yi = n
-1 Pn
j = 1 yij。
（c）[4分]表明βb的协方差矩阵为
Cov（βb）=σ
2
1个
ñ
0 0
0
1个
ñ
0
0 0（2z
则
-1
。
(d) [4 marks] Verify that the estimate of σ
2
is
s
2 =
(n − 1)(s
2
1 + s
2
2
)
2n − 3
,
where s
2
i = (n − 1)−1 Pn
j=1(yij − yi − βzb j )
2
for i = 1, 2.
2
(e) [4 marks] If one would like to find the least squares estimate under the assumption
α1 = α2, one can rewrite the model using only two parameters such as β
∗ = (α1, β1)
T
,
in the form
y = X∗β
∗ + ǫ,
where ǫ = (ǫ
T
1
, ǫ
T
2
)
T
. Write down the new design matrix X∗ and find the least
squares estimator of β
∗
.
3
** Extra Questions for STATS 732 Only **
4. [6 marks] Show that the Bayes estimator of θ under loss
l(θ, θ b ) = |θb− θ|
is the median (any median, if more than one) of the posterior density π(θ|x).
5. [14 marks] Assume that X1, . . . , Xn
iid∼ N(0, θ−1
) and the prior distribution of θ is
Gamma(k, λ).
(a) [4 marks] Show that the posterior distribution of θ is Gamma
k +
1
2
, λ +
1
2
ny
,
where y =
1
n
Pn
i=1 x
2
i
.
(b) [4 marks] Find the density function of the marginal distribution of Y =
1
n
Pn
i=1 X2
i
.
For the following parts, let k = 5, λ = 3, n = 10 and y = 1.
(c) [2 marks] Compute the Bayes estimate of θ under the squared error loss.
(d) [2 marks] Compute the central 95% credible interval for θ.
(e) [2 marks] Compute the narrowest 95% credible interval for θ.